Многозначная зависимость и четвертая нормальная форма

В свое время было обращено внимание на то, что функциональных зависимостей недостаточно для представления в реляционной модели той семантики предметных областей, которая относится к характеристике связей объект-свойство. В связи с этим было введено понятие многозначной зависимости .

Мы не случайно представили эти атрибуты в виде иерархической структуры, так как именно она наиболее адекват­но отражает смысл связей между указанными атрибутами. У нас нет конкретной информации о связи преподавате­лей с учебниками, мы не знаем по какому учебнику тот или иной преподаватель излагает конкретную дисциплину. Тем не менее, при представлении этого отношения мы должны в каждом его кортеже указать значения всœех трех атрибутов (по крайней мере потому, что эти атрибуты составляют ключ, а значения ключевых атрибутов всœегда должны быть определœены). Единственным выходом из данной ситуации является следующий: если с предметом, к примеру БД, связаны преподаватели Иванов и Петров и учебники Основы БД, Введение в БД и Теория БД, то в отношении каждый из этих преподавателœей должен быть связан (ассоциирован) с каждым учебником, как это показано на примере ниже. Другого выхода нет.

ЛЕКЦИЯ	Предмет	Преподаватель	Учебник
	БД	Иванов	Основы БД
	БД	Иванов	Введение в БД
	БД	Иванов	Теория БД
	БД	Петров	Основы БД
	БД	Петров	Введение в БД
	БД	Петров	Теория БД

Другими словами, мы должны констатировать следующую семантику связи между преподавателями и учебника­ми: "Данный предмет преподают такие-то преподаватели и для чтения лекций по этому предмету всœе они исполь­зу­­ю­т ВСЕ указанные учебники".

Мы здесь приходим к следующему тезису:

Тезис: В случае если в предметной области отсутствует какая-либо непосредственная связь между атри­бу­та­ми А и В, а нам по тем или иным причинам крайне важно зафиксировать такую связь в отношении, то единственным коррект­ным решением является установление, что всœе значения атрибута А связаны со всœеми значениями атрибута В, и наоборот.

Отметим, что независимость преподавателœей от учебников и наоборот, а также трактовка такой независимости согласно приведенному выше тезису свидетельствует, что в нашем отношении Лекции атрибуты Преподаватель и Учебники обладают следующим важным свойством:

Множество учебников, которые связаны с конкретным предметом, совпадает со множеством учебников, которые связаны с парой значений <предмет, преподаватель> (с предметом "БД" связаны три учебника, эти же три учебника связаны с парами значений <"БД","Иванов"> и <"БД","Петров">). И наоборот, множество преподавате­лей, которые связаны с конкретным предметом, совпадает с множеством преподавателœей, которые связаны с парой значений <предмет, учебник>.

Данное свойство является принципиальным в понимании многозначной зависимости.

Очевидно, что такое отношение избыточно и приводит к трудностям в выполнении операций манипу­ли­ро­ва­ния. Лектор входит в атрибут Преподаватель столько раз, сколько имеется учебников и об этом следует помнить вся­кий раз, производя операции вставки удаления и замены преподавателœей. То же самое имеет место и для учебников.

В связи с этим было введено понятие многозначной зависимости.

Определœение . Пусть задано отношение R с атрибутами (или наборами атрибутов) А, В, С. Говорят, что существует многозначная зависимость (multivalued dependecy ) В от А (или А многозначно определяет В), и это обозначается как А ®® В, в случае если при заданных значениях атрибутов из А существует множество связанных значений атрибутов из В и это множество В-значений не зависит каким-либо образом от значений атрибутов из С.

К примеру, в отношении ЛЕКЦИЯ атрибут Преподаватель многозначно зависит от атрибута Предмет (Предмет ®® Преподаватель) и атрибут Учебник многозначно зависит от Предмет (Предмет ®® Учебник).

Дадим формальное определœение многозначной зависимости. Пусть отношение R определœено на множестве атрибутов M и А, В – подмножества М, причем А и В могут пересекаться. Определим через В R (а) множество проекций кортежей отношения R по атрибутам В, которые связаны с конкретным кортежем, спроецированным по атрибутам А, то есть:

В R (а) = {b | $r Î R, r[A] = a & r[B] = b}

Пусть С = М – (А В). Тогда будем говорить, что В R (а) в R имеет место многозначная зависимость А ®® В, если

"ас Î R В R (аc) = В R (а)

Другими словами, совокупность значений атрибутов В, которая появляется в кортежах отношения R с хаданным значением а атрибутов А, появляется также с каждой комбинацией значений а и с Î С, ас Î R. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, множество значений В для заданного а не зависит от значений С, появляющихся вместе с а.

По определœению А ®® Æ для любой совокупности атрибутов А из R. Более того всœеда имеет место А ®® В, в случае если R определœено только на множестве атрибутов А В. Эти два вида многозначных зависимостей называются тривиальными так как они присутствуют во любых отношениях.

Очевидно, что любая функциональная зависимость является многозначной, но не наоборот. Тем не менее, функциональные и многозначные зависимости существенно различаются. Функциональная зависимость А ® В определяется только через А и В, существование же многозначной зависимости А ®® В является свойством всœей совокупности атрибутов R.

$r$ со схемой $R$, а также два произвольных подмножества атрибутов $A,B\backslash subseteq\; R$. Пусть $C\backslash overset\{\backslash mathop\{=\}\}\backslash ,R\backslash backslash\; (A\backslash cup\; B)$.

В этом случае $B$ многозначно зависит от $A$, тогда и только тогда, когда множество значений атрибута $B$, соответствующее заданной паре $$ отношения $r$, зависит от $a$ и не зависит от $c$.

Символически выражается записью

$A\; \backslash twoheadrightarrow\; B$.

Формально

\end{align} \right. \\ \end{align}

Многозначная зависимость $A\backslash twoheadrightarrow\; B$ называется тривиальной , если выполняется хотя бы одно из условий:

• Множество $A$ является надмножеством $B$; $B\backslash subseteq\; A$
• Объединение $A$ и $B$ образует весь заголовок отношения. $A\backslash cup\; B=R$

Пример

Предположим, у нас есть отношение, в которое входит список учебных дисциплин, рекомендованная литература и имена лекторов, читающих соответствующие курсы:

Так как лекторы, читающие предмет, и книги, рекомендованные по предмету, друг от друга не зависят, то данное отношение содержит многозначную зависимость. Такое отношение обладает целым рядом аномалий. Одна из них состоит в том, что если мы хотим порекомендовать новую книгу по курсу МатАн, нам придется добавить столько новых записей, сколько лекторов ведут МатАн и наоборот.

Формально, здесь две МЗЗ: {Дисциплина} $\backslash twoheadrightarrow$ {Книга}|{Лектор} .

Во-первых, это избыточно. А во-вторых, для такого отношения необходимо разрабатывать дополнительный механизм контроля целостности. Оптимальным решением проблемы будет декомпозиция отношения на два с заголовками {Дисциплина, Книга} и {Дисциплина, Лектор} . Такая декомпозиция будет находиться в 4NF . Допустимость декомпозиции устанавливает теорема Феджина (см. далее).

Теоремы

Связные пары

Феджин показал, что многозначные зависимости образуют связные пары (в обозначениях определения):

$\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)\backslash Leftrightarrow\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; C\; \backslash right)$.

Поэтому их часто представляют вместе в символической записи:

$A\backslash twoheadrightarrow\; B|C$

Функциональные зависимости

Всякая функциональная зависимость является многозначной. Другими словами, функциональная зависимость - это многозначная зависимость, в которой множество зависимых значений, соответствующее заданному значению детерминанта, всегда имеет единичную мощность .

$$

Правила вывода

В 1977 году Бэри, Феджин и Ховард установили, что правила вывода Армстронга можно обобщить и распространить, как на функциональные, так и на многозначные зависимости.

Пусть у нас есть отношение $r\backslash left(R\; \backslash right)$ и множества атрибутов $A,B,C,D\backslash subseteq\; R$. Для сокращения записи вместо $X\backslash cup\; Y$ будем писать просто $XY$.

Группа 1: базовые правила.

• Дополнение $\backslash left(A\backslash cup\; B\backslash cup\; C=R\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(B\backslash cap\; C\backslash subseteq\; A\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)\backslash Leftrightarrow\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; C\; \backslash right)\; \backslash right)$
• Транзитивность $\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(B\backslash twoheadrightarrow\; C\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; C\backslash backslash\; B\; \backslash right)$
• Рефлексивность $\backslash left(B\backslash subseteq\; A\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)$
• Приращение $\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(C\backslash subseteq\; D\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(AD\backslash twoheadrightarrow\; BC\; \backslash right)$

Группа 2: выводятся несколько дополнительных правил, упрощающих задачу вывода многозначных зависимостей.

• Псевдотранзитивность $\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(BC\backslash twoheadrightarrow\; D\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(AC\backslash twoheadrightarrow\; D\backslash backslash\; BC\; \backslash right)$
• Объединение $\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; C\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; BC\; \backslash right)$
• Декомпозиция $\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; BC\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\backslash cap\; C\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\backslash backslash\; C\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; C\backslash backslash\; B\; \backslash right)$

Группа 3: устанавливается связь между функциональными и многозначными зависимостями.

• Репликация (копирование) $\backslash left(A\backslash to\; B\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)$
• Слияние $\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(C\backslash to\; D\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(D\backslash subseteq\; B\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(B\backslash cap\; C=\backslash varnothing\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(A\backslash to\; D\; \backslash right)$

Группа 4: для функциональных зависимостей, выводятся из вышеприведенных правил.

• $\backslash left(A\backslash twoheadrightarrow\; B\; \backslash right)\backslash wedge\; \backslash left(AB\backslash to\; C\; \backslash right)\backslash Rightarrow\; \backslash left(A\backslash to\; C\backslash backslash\; B\; \backslash right)$

См. также

Напишите отзыв о статье "Многозначная зависимость"

Литература

• К. Дж. Дейт. Введение в системы баз данных = Introduction to Database Systems. - 8-е изд. - М .: «Вильямс» , 2006. - С. 1328. - ISBN 0-321-19784-4 .

Отрывок, характеризующий Многозначная зависимость

Лицо стало утешать ее; Элен же сквозь слезы говорила (как бы забывшись), что ничто не может мешать ей выйти замуж, что есть примеры (тогда еще мало было примеров, но она назвала Наполеона и других высоких особ), что она никогда не была женою своего мужа, что она была принесена в жертву.
– Но законы, религия… – уже сдаваясь, говорило лицо.
– Законы, религия… На что бы они были выдуманы, ежели бы они не могли сделать этого! – сказала Элен.
Важное лицо было удивлено тем, что такое простое рассуждение могло не приходить ему в голову, и обратилось за советом к святым братьям Общества Иисусова, с которыми оно находилось в близких отношениях.
Через несколько дней после этого, на одном из обворожительных праздников, который давала Элен на своей даче на Каменном острову, ей был представлен немолодой, с белыми как снег волосами и черными блестящими глазами, обворожительный m r de Jobert, un jesuite a robe courte, [г н Жобер, иезуит в коротком платье,] который долго в саду, при свете иллюминации и при звуках музыки, беседовал с Элен о любви к богу, к Христу, к сердцу божьей матери и об утешениях, доставляемых в этой и в будущей жизни единою истинною католическою религией. Элен была тронута, и несколько раз у нее и у m r Jobert в глазах стояли слезы и дрожал голос. Танец, на который кавалер пришел звать Элен, расстроил ее беседу с ее будущим directeur de conscience [блюстителем совести]; но на другой день m r de Jobert пришел один вечером к Элен и с того времени часто стал бывать у нее.
В один день он сводил графиню в католический храм, где она стала на колени перед алтарем, к которому она была подведена. Немолодой обворожительный француз положил ей на голову руки, и, как она сама потом рассказывала, она почувствовала что то вроде дуновения свежего ветра, которое сошло ей в душу. Ей объяснили, что это была la grace [благодать].
Потом ей привели аббата a robe longue [в длинном платье], он исповедовал ее и отпустил ей грехи ее. На другой день ей принесли ящик, в котором было причастие, и оставили ей на дому для употребления. После нескольких дней Элен, к удовольствию своему, узнала, что она теперь вступила в истинную католическую церковь и что на днях сам папа узнает о ней и пришлет ей какую то бумагу.
Все, что делалось за это время вокруг нее и с нею, все это внимание, обращенное на нее столькими умными людьми и выражающееся в таких приятных, утонченных формах, и голубиная чистота, в которой она теперь находилась (она носила все это время белые платья с белыми лентами), – все это доставляло ей удовольствие; но из за этого удовольствия она ни на минуту не упускала своей цели. И как всегда бывает, что в деле хитрости глупый человек проводит более умных, она, поняв, что цель всех этих слов и хлопот состояла преимущественно в том, чтобы, обратив ее в католичество, взять с нее денег в пользу иезуитских учреждений {о чем ей делали намеки), Элен, прежде чем давать деньги, настаивала на том, чтобы над нею произвели те различные операции, которые бы освободили ее от мужа. В ее понятиях значение всякой религии состояло только в том, чтобы при удовлетворении человеческих желаний соблюдать известные приличия. И с этою целью она в одной из своих бесед с духовником настоятельно потребовала от него ответа на вопрос о том, в какой мере ее брак связывает ее.
Они сидели в гостиной у окна. Были сумерки. Из окна пахло цветами. Элен была в белом платье, просвечивающем на плечах и груди. Аббат, хорошо откормленный, а пухлой, гладко бритой бородой, приятным крепким ртом и белыми руками, сложенными кротко на коленях, сидел близко к Элен и с тонкой улыбкой на губах, мирно – восхищенным ее красотою взглядом смотрел изредка на ее лицо и излагал свой взгляд на занимавший их вопрос. Элен беспокойно улыбалась, глядела на его вьющиеся волоса, гладко выбритые чернеющие полные щеки и всякую минуту ждала нового оборота разговора. Но аббат, хотя, очевидно, и наслаждаясь красотой и близостью своей собеседницы, был увлечен мастерством своего дела.
Ход рассуждения руководителя совести был следующий. В неведении значения того, что вы предпринимали, вы дали обет брачной верности человеку, который, с своей стороны, вступив в брак и не веря в религиозное значение брака, совершил кощунство. Брак этот не имел двоякого значения, которое должен он иметь. Но несмотря на то, обет ваш связывал вас. Вы отступили от него. Что вы совершили этим? Peche veniel или peche mortel? [Грех простительный или грех смертный?] Peche veniel, потому что вы без дурного умысла совершили поступок. Ежели вы теперь, с целью иметь детей, вступили бы в новый брак, то грех ваш мог бы быть прощен. Но вопрос опять распадается надвое: первое…
– Но я думаю, – сказала вдруг соскучившаяся Элен с своей обворожительной улыбкой, – что я, вступив в истинную религию, не могу быть связана тем, что наложила на меня ложная религия.
Directeur de conscience [Блюститель совести] был изумлен этим постановленным перед ним с такою простотою Колумбовым яйцом. Он восхищен был неожиданной быстротой успехов своей ученицы, но не мог отказаться от своего трудами умственными построенного здания аргументов.
– Entendons nous, comtesse, [Разберем дело, графиня,] – сказал он с улыбкой и стал опровергать рассуждения своей духовной дочери.

Элен понимала, что дело было очень просто и легко с духовной точки зрения, но что ее руководители делали затруднения только потому, что они опасались, каким образом светская власть посмотрит на это дело.
И вследствие этого Элен решила, что надо было в обществе подготовить это дело. Она вызвала ревность старика вельможи и сказала ему то же, что первому искателю, то есть поставила вопрос так, что единственное средство получить права на нее состояло в том, чтобы жениться на ней. Старое важное лицо первую минуту было так же поражено этим предложением выйти замуж от живого мужа, как и первое молодое лицо; но непоколебимая уверенность Элен в том, что это так же просто и естественно, как и выход девушки замуж, подействовала и на него. Ежели бы заметны были хоть малейшие признаки колебания, стыда или скрытности в самой Элен, то дело бы ее, несомненно, было проиграно; но не только не было этих признаков скрытности и стыда, но, напротив, она с простотой и добродушной наивностью рассказывала своим близким друзьям (а это был весь Петербург), что ей сделали предложение и принц и вельможа и что она любит обоих и боится огорчить того и другого.

Пусть A, B, C – некоторое произвольное подмножество атрибутов схемы отношения R(A, B, C). Тогда B многозначно зависит от A (A →→ B) тогда и только тогда, когда множество значений B, соответствующее заданной паре отношения R, зависит только от A, но не зависит от C. многозначные зависимости всегда образуют пары: A →→ B | C.

Пример 1:

Есть ненормализованное отношение (рис. слева). Каждый кортеж такого отношения содержит индекс учебного курса, список дней недели, когда проводятся занятия, и список студентов, изучающих данный курс. Такое расписание означает, что занятия по каждому курсу проводятся во все указанные дни недели, и все студенты посещают все занятия по курсу.

Предположения, которые могут быть сделаны:

Каждый курс может иметь произвольное количество дней занятий.

Каждый курс могут изучать произвольное количество студентов.

Дни занятий и студенты совершенно не зависят друг от друга, т.е. независимо от дня занятий состав группы студентов один и тот же.

День занятий может быть связан с любыми курсами.

Каждый студент может быть связан с любым курсом.

Преобразуем данное отношение в нормализованное отношение CDS (рис слева).

Интуитивно ясно, что эти проблемы вызваны тем, что студенты и дни занятий никак не связаны друг с другом. Можно исправить эту ситуацию, если разбить данное отношение на два: CD(Учебный курс , День занятий ) и CS (Учебный курс , Студент ).

В нашем примере имеет место многозначная зависимость: Учебный курс →→ День занятий | Студент.

Пример 2: Предположим, что рестораны производят разные виды пиццы, а службы доставки ресторанов работают только в определенных районах города. Составной первичный ключ соответствующей переменной отношения включает три атрибута: {Ресторан, Вид пиццы, Район доставки}. Такая переменная отношения не соответствует 4НФ, так как существует следующая многозначная зависимость: {Ресторан}->-> {Вид пиццы}; {Ресторан} ->-> {Район доставки}. То есть, например, при добавлении нового вида пиццы придется внести по одному новому кортежу для каждого района доставки. Возможна логическая аномалия, при которой определенному виду пиццы будут соответствовать лишь некоторые районы доставки из обслуживаемых рестораном районов. Для предотвращения аномалии нужно декомпозировать отношение, разместив независимые факты в разных отношениях. В данном примере следует выполнить декомпозицию на {Ресторан, Вид пиццы} и {Ресторан, Район доставки}. Однако если к исходной переменной отношения добавить атрибут, функционально зависящий от потенциального ключа, например цену с учётом стоимости доставки ({Ресторан, Вид пиццы, Район доставки} → Цена), то полученное отношение будет находиться в 4НФ и его уже нельзя подвергнуть декомпозиции без потерь. Указанные выше многозначные зависимости в данном случае называются внедрёнными зависимостями.

21. Четвертая и пятая нормальные формы. Определение. Аномалии, возникающие при нарушении. Примеры нарушения и нормализации.

Проблема вставки . Чтобы добавить в приведенное отношение информацию о том, что занятия по курсу C2 могут проводиться еще и в четверг, надо включить в отношение два кортежа: и .

Проблема обновления . Чтобы перенести, например, день занятий по курсу C2 с пятницы на вторник, надо изменить данные в двух кортежах.

Проблема удаления . Чтобы отменить, например, занятия в понедельник по курсу C1, надо удалить из отношения три кортежа.

	Учебный курс	День занятий
		Понедельник
		Понедельник
		Понедельник

Отношение R находится в 4НФ тогда и только тогда, когда в случае существования многозначной зависимости A →→B все атрибуты отношения R функционально зависят от A. (В отношении отсутствуют многозначные зависимости)

(для достижения 4НФ необходимо разрешить все связи многие ко многим)

Диаграмма уровня сущностей

Так как предполагается, что занятия по курсу обязательно посещаются студентами, можно ввести общую дополнительную сущность ЗАНЯТИЕ, для которой не будет выполняться 4НФ

Если все-таки необходимо, чтобы отношения удовлетворяли 4НФ, и допускается наличие данных о проведении занятий по курсу, когда еще не определен состав студентов, изучающих данный курс, тогда каждая неопределенная связь должна разрешаться самостоятельно. В этом случае согласование данных, заносимых в отношения КУРС СТУДЕНТА и ЗАНЯТИЕ ПО КУРСУ, должны осуществляться с помощью триггеров и хранимых процедур, чтобы не получилось так, что студент изучает некоторый курс, для которого не назначены дни занятий.

Из книжки: Возможность существования в отношении многозначных зависимостей возникает вследствие приведения исходных таблиц к форме 1НФ, для которой не допускается наличие некоторого набора значений на пересечении одной строки и одного столбца. Например, при наличии в отношении двух многозначных атрибутов для достижения непротиворечивого состояния строк необходимо повторить в них каждое значение одного из атрибутов в сочетании с каждым значением другого атрибута. Подобный тип ограничения порождает многозначную зависимость и приводит к избыточности данных.

Многозначная зависимость . Представляет такую зависимость между атрибутами отношения (например, А, B и C), что каждое значение А представляет собой множество значений для A и множество значений для C. Однако множества значений для B и C не зависят друг от друга.

Четвертая нормальная форма (4НФ) - Отношение в нормальной форме Бойса-Кодда, которое не содержит нетривиальных многозначных зависимостей.

Пятая нормальная форма (5NF)

Декомпозиция схем отношений не всегда гарантирует обратимость. Это обстоятельство связано с существованием класса функциональных зависимостей (ФЗ) по соединению. Если отношение удовлетворяет ФЗ по соединению, то оно может быть восстановлено по своим проекциям. Отношения, содержащие более трех МФЗ, требуют особого внимания при построении логической модели реляционной базы данных . Также 4НФ не устраняет избыточность данных полностью, поэтому требуется дальнейшая декомпозиция схем отношений.

Отношение находится в пятой нормальной форме (5НФ), если оно находится в 4НФ и удовлетворяет зависимости по соединению относительно своих проекций. 5НФ называют также нормальной формой с проецированием соединений. Она используется для разрешения трех и более отношений, которые связаны более чем тремя ФЗ по типу «многие-ко-многим».

Пример. Приведение к 5НФ. Рассмотрим отношение с несколькими многозначными зависимостями, представленное на первом рисунке слева.

Рассмотрим сначала это отношение как три изолированных отношения со степенью связи «многие-ко-многим»:

Каждый автомобиль имеет определенный цвет и модель. Некоторые цвета характерны только для определенных моделей. Такие отношения разрешаются введением связывающих отношений, в данном случае таких отношений три (рисунок слева).

Предположим, что клиент желает приобрести автомобиль синего цвета модели C, при этом марка автомобиля роли не играет. Запрос к базе данных на поиск такого автомобиля будет содержать два соединения между тремя таблицами Car, Car Color и Car Model по атрибуту наименование машины и два предиката: цвет = синий и модель = С. Результат выполнения запроса будет удивителен: есть и Волга, и Жигули! Однако из таблицы Model Color видно, что автомобиля синего цвета модели С не существует. Появляется несуществующий кортеж. Такое явление представляет собой аномалию проецирования соединений и пример нарушения 5НФ.

Приведение отношения к 5НФ заключается во введении еще одного отношения, связывающего три исходных отношения, как показано на рисунке слева.

Таким образом, процедура приведения отношения, содержащего многозначные ФЗ, к 5НФ состоит в построении связывающего отношения, позволяющего исключить появление в соединениях ложных кортежей.

Отношение может находиться в 3НФ или в НФБК и обладать нежелательными свойствами. Рассмотрим от­ношение СБЫТ (табл. 3.7).

Кортеж <z t m > означает, что завод z производит товар t и снабжает магазин m . Предположим, что завод произ­водит различные товары и снабжает разные магазины. Следовательно, имеются две независимые друг от друга функции: ПРОИЗВОДСТВО и СНАБЖЕНИЕ (рис. 3.4), т. е. в отношении СБЫТ не выполняются F -зависимости ЗАВОДàTOBAP и ЗАВОДàМАГАЗИН. Однако это отношение без потери информации разлагается на два отношения: ПРОИЗВОДСТВО (табл. 3.8) и СНАБЖЕНИЕ (табл. 3.9).

Рассмотрим отношение СБЫТ1 с такой же схемой (табл. 3.7).

Рис. 3.4. Функция отношения СБЫТ

Таблица 3.7. Отношение СБЫТ

Таблица 3.9. Снабжение

Разложив это отношение на схемы ПРОИЗВОДСТВО (ЗАВОД ТОВАР) и СНАБЖЕНИЕ (ЗАВОД МАГАЗИН), снова получим соответствующие проекции в табл. 3.8 и 3.9. Однако соединение данных проекций не восстанавливает исходного отношения, так как появляется кортеж <z 1 t 2 m 2 >

Проанализируем, какими же свойствами отличаются отношения СБЫТ и СБЫТ1. В первом случае если некоторый товар, например t 2 , производится заводом, например z 1 , то он поставляется во все магазины, а во втором случае - нет. В действительности, если завод z 1 начинает снабжать новый магазин m 3 , то в отношении СБЫТ нужно создать два новых кортежа: по одному для каждого товара. Это связано с взаимной независимостью двух функций (см. рис. 3.4) и лучше осуществляется с помощью двух проекций отношения СБЫТ.

Пусть R(A) -отношение, где А = {А 1 , А 2 ,...,А n }, X, У, Z - подмножества А . Имеет место многозначная зависимость в отношении R , которую обозначают XààY/Z , если при наличии в R кортежей <х у z > и <х у" z" > должны обязательно быть кортежи <х у" z > и <х у z" >.

Так, для рассмотренного выше отношения СБЫТ имеем

ЗАВОДàà ТОВАР/МАГАЗИН, что означает:

если завод производит товар, то он поставляется во все магазины, которые снабжаются заводом;

если завод снабжает некоторый магазин, то магазину поставляются все товары, производимые заводом;

все товары, производимые заводом, продаются мага­зинами, которые снабжаются заводом.

Пусть R(A) - реляционная схема, X, У - непересекающиеся подмножества A, Z = A - (X, У) . Отношение R удовлетворяет многозначной зависимости (MV-зависимости), если для любых кортежей t 1 и t 2 из R , для которых t 1 (X)=t 2 (X) , в R существует кортеж t 3 , для которого t 3 (Х) = t 1 (Х), t 3 (У)=t 1 (У), t 3 (Z)=t 2 (Z) . Из симметрии определения относительно t 1 и t 2 получаем, что в R имеется также кортеж t 4 , для которого t 4 (X)=t 1 {X), t 4 (Y)=t 2 {Y) и t 4 (Z) = t 1 {Z). Из определения MV-зависимости вытекает следующее утверждение.

Утверждение. Если отношение r(R) удовлетворяет MV-зависимости XààY и Z = R-{X, Y) , то r удовлетворяет XààY

В определении MV-зависимости XààY требуется, чтобы ее левая и правая части различались, т. е. чтобы пересечение X и Y было пустым. Для этого есть две причины: во-первых, свойство транзитивности не всегда выполняется, если снято ограничение, и, во-вторых, проектировщик использует на практике MV-зависимости с непересекающимися множествами атрибутов.

Предположим, что в определении MV-зависимости XààY пересечение X и Y не является пустым, т. е. отношение r(R) удовлетворяет XààY и Y" = Y - X . Тогда r(R) удовлетворяет XààY . Действительно, в соответствии с определением MV-зависимости XààY найдутся кортежи t 1 и t 2 , для которых t 1 (X) = t 2 (X) , и должен быть кортеж t 3 , для которого t 3 {X) = t 1 (X), t 3 (Y) =t 1 (Y), t 3 (Z)=t 2 (Z) . Но если t 3 (Y) = t 1 (У), то t 3 (Y")= t 1 (Y") , так как У" ≤Y . Итак, r удовлетворяет XààY".

Предположим, что пересечение X и У пусто и отношение r(R) удовлетворяет ХààY . Если X" Y , то X àà YХ" согласно модифицированному определению MV-зависимости; если t 1 , t 2 принадлежит r и t 1 (X) = t 2 (X) существует кортеж t 3 , для которого t 3 (X) = t 1 (X), t 3 (Y) = t 1 (Y), t 3 (Z) = t 2 (Z) . Следовательно, t 3 (YX") = t 1 (YX") .

До сих пор, определяя нормальные формы всех уровней, включая НФБК, мы пользовались понятием функциональной зависимости между атрибутами отношения R. Для дальнейшего продолжения нормализации, в частности, для перехода к обсуждению четвертой нормальной формы, нам придется ввести понятие многозначной зависимости (МЗЗ). Многозначная зависимость между атрибутами A и B записывается A®®B и читается как "В многозначно зависит от А" или "А многозначно определяет В".

Пусть А, В, С – произвольные подмножества множества атрибутов отношения R. Тогда В многозначно зависит от А ( A ®® B ) тогда и только тогда, когда множество значений В, соответствующее значениям А и С отношения R , зависит только от А, но не зависит от С. Многозначные зависимости всегда образуют связанные пары, т.е. если для отношения R{A,B,C} выполняется A®®B, то выполняется также и A®®С. Эти зависимости символически представляются в виде:

А ®® В/С

Многозначная зависимость может быть определена как тривиальная и нетривиальная.

Многозначная зависимость А®®В некоторого отношения R определяется как тривиальная , если атрибут В является подмножеством атрибута А или если объединение А и В образуют все множества атрибутов R, т.е.

А È В = R

Исследования показали, что некоторые отношения, в которых выполняются многозначные зависимости между атрибутами, могут быть представлены в виде проекций, в которых атрибуты связываются между собой функциональными зависимостями. На это явление впервые обратил внимание Фейгин.

Теорема Фейгина . Пусть А, В и С являются множествами атрибутов отношения R {А, В, С}. Отношение R будет равно соединению его проекций {А, В} и {А, С}, тогда и только тогда, когда для отношения R выполняется многозначная зависимость А ®® В/С.

4.4. Четвертая нормальная форма (4нф)

Использование 4НФ обосновано тем, что в ряде случаев при структурировании предметной области мы можем составить реляционное отношение, включающее в себя несколько независимых повторяющихся групп данных. Так, например, некоторая фирма разливает свою продукцию в тару, имеющую несколько размеров. Эту тару фирма получает от нескольких поставщиков. Тогда отношение Продукт в ненормализованном варианте будет выглядеть так:

Рис. 4.11. Ненормализованное отношение Продукт

Следует заметить, что каждый поставщик предоставляет фирме все необходимые ей размеры тары. Для нормализации отношения Продукт нам следует включить в него дополнительные кортежи. В результате получим отношение, показанное на Рис. 4.12.

Рис. 4.12. Нормализованное отношение НПродукт

В отношении Продукт потенциальным ключом является атрибут Товар, а в отношении НПродукт – полный набор атрибутов {Товар, Поставщик, Тара }

Отношение НПродукт характеризуется значительной избыточностью. Это означает, что в нем может возникнуть аномалия обновления. Так, например, информация о том, что появился новый поставщик, приведет к обновлению трех кортежей в отношении.

До сих пор мы решали подобные проблемы, используя операцию декомпозиции исходного отношения. Но декомпозицию мы осуществляли на основе функциональных зависимостей между атрибутами, а не многозначных. Однако, если внимательно прочитать определение многозначной зависимости, можно понять, что оно является обобщением функциональной зависимости. Точнее говоря, функциональная зависимость, в которой множество зависимых значений В, соответствующее заданному значению детерминанта А, всегда является одноэлементным множеством , т.е.

если А ® В, то А ®® В

Декомпозиция отношения НПродукт привела к тому, что в проекциях Товар_Поставщик и Товар_Тара исчезли нетривиальные многозначные зависимости. Поэтому они более желательны, чем исходное отношение.

Для рассматриваемого нами отношения Продукт можно записать две многозначные зависимости:

Товар ®® Поставщик / Тара

Товар ®® Тара / Поставщик

Согласно теореме Фейгина, можно произвести декомпозицию исходного отношения и представить его в виде двух проекций. В качестве исходного отношения возьмем нормализованное отношение НПродукт , а в качестве проекции -- Товар_Поставщик и Товар_Тара :

Рис. 4.13. Проекции Товар_Поставщик и Товар_Тара

Поскольку выполнена декомпозиция без потерь, обратное соединение проекции Товар_Поставщик и Товар_Тара восстановит отношение НПродукт .

В случае, представленном на Рис.4.13., для добавления информации о том, что "Святой источник" будет разливаться в тару, предоставленную новым поставщиком, достаточно включить в проекцию Товар_Поставщик один кортеж.

Определение . Отношение находится в 4НФ, если оно находится в НФБК и не содержит нетривиальных зависимостей.