Международная образовательная корпорация
Факультет Прикладных Наук
Реферат
на тему «Спектр плотности мощности и его связь с функцией корреляции»
По дисциплине «Теория электрической связи»
Выполнила: студент группы
ФПН-РЭиТ(з)-4С *
Джумагельдин Д
Проверила: Глухова Н.В
Алматы, 2015
І Введение
ІІ Основная часть
1. Спектральная плотность мощности
1.1 Случайные величины
1.2 Плотность вероятности функции от случайной величины
2. Случайный процесс
3. Метод определения спектральной плотности мощности по корреляционной функции
ІІІ Заключение
ІV Список использованной литературы
Введение
Теория вероятностей рассматривает случайные величины и их характеристики в "статике". Задачи описания и изучения случайных сигналов "в динамике", как отображения случайных явлений, развивающихся во времени или по любой другой переменной, решает теория случайных процессов.
В качестве универсальной координаты для распределения случайных величин по независимой переменной будем использовать, как правило, переменную "t" и трактовать ее, чисто для удобства, как временную координату. Распределения случайных величин во времени, а равно и сигналов их отображающих в любой математической форме, обычно называют случайными процессами. В технической литературе термины "случайный сигнал" и "случайный процесс" используются как синонимы.
В процессе обработки и анализа физико-технических данных обычно приходится иметь дело с тремя типами сигналов, описываемых методами статистики. Во-первых, это информационные сигналы, отображающие физические процессы, вероятностные по своей природе, как, например, акты регистрации частиц ионизирующих излучения при распаде радионуклидов. Во вторых, информационные сигналы, зависимые от определенных параметров физических процессов или объектов, значения которых заранее неизвестны, и которые обычно подлежать определению по данным информационным сигналам. И в третьих, это шумы и помехи, хаотически изменяющиеся во времени, которые сопутствуют информационным сигналам, но, как правило, статистически независимы от них как по своим значениям, так и по изменениям во времени.
Спектральная плотность мощности
Спектральная плотность мощности позволяет судить о частотных свойствах случайного процесса. Она характеризует его интенсивность при различных частотах или, иначе, среднюю мощность, приходящуюся на единицу полосы частот.
Картину распределения средней мощности по частотам называют спектром мощности. Прибор, при помощи которого измеряется спектр мощности, называется анализатором спектра. Найденный в результате измерений спектр называется аппаратным спектром.
Работа анализатора спектра основана на следующих методах измерений:
· методе фильтрации;
· методе преобразования по теореме Винера-Хинчена;
· методе Фурье-преобразования;
· методе с использованием знаковых функций;
· методе аппаратного применения ортогональных функций.
Особенность измерения спектра мощности состоит в значительной продолжительности эксперимента. Нередко она превышает длительность существования реализации, или время, в течение которого сохраняется стационарность исследуемого процесса. Оценки спектра мощности, получаемые по одной реализации стационарного эргодического процесса, не всегда приемлемы. Часто приходится выполнять многочисленные измерения, так как необходимо усреднение реализаций как по времени, так и по ансамблю. Во многих случаях реализации исследуемых случайных процессов предварительно запоминают, что позволяет многократно повторять эксперимент с изменением продолжительности анализа, использованием различных алгоритмов обработки и аппаратуры.
В случае предварительной записи реализаций случайного процесса аппаратурные погрешности могут быть уменьшены до значений, обусловленных конечной длительностью реализации и нестационарностью.
Запоминание анализируемых реализаций позволяет ускорить аппаратурный анализ и автоматизировать его.
Случайные величины
Случайная величина описывается вероятностными законами. Вероятность того, что непрерывная величина х при измерении попадет в какой-либо интервал х 1 <х <х 2 , определяется выражением:
, где p(x)
- плотность вероятности, причем . Для дискретной случайной величины х i P(x = x i)=P i
, где P i
- вероятность, соответствующая i-у уровню величины х.
Лекция 7.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) реализаций, необходимо иметь в виду, что реализациям, обладающим различной формой, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности по всем реализациям приводит к нулевому спектру процесса (при среднем = 0) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной величины, поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией x(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте ω . Введенную таким образом спектральную плотность S (ω) в дальнейшем будем называть энергетическим спектром функции x (t ) . Смысл такого названия определяется размерностью функции S (ω) , являющейся отношением мощности к полосе частот:
[S (ω) ] = [ мощность/ полоса частот ] = [мощность×время] = [энергия],
Энергетический спектр можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Здесь же мы ограничимся некоторыми определениями общего характера.
Методы вычисления СПМ
Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами, которые мы рассмотрим ниже:
С помощью ковариационных функций;
С помощью финитного преобразования Фурье;
С помощью фильтрации, возведения в квадрат и усреднения.
Определение спектров с помощью корреляционных функций.
Исторически первый способ определения спектральной плотности появился в математике. Он состоит во взятии преобразования Фурье от предварительно вычисленной корреляционной функции. После вычитания средних значений такие (бесконечные) преобразования Фурье обычно существуют, даже если (бесконечное) преобразование Фурье исходного процесса не существует. Этот подход дает двустороннюю спектральную плотность, определенную для частот f от - до + и обозначаемую S (f ) .
Пусть существуют корреляционные и взаимная корреляционная функции R x (t ), R y (t ) и R xy (t ) . Предположим также, что конечны интегралы от их абсолютных величин
R ( d
На практике эти условия всегда выполняются для реализаций конечной длины. Тогда ПФ функций R (t ) существуют и определяются формулами
S x (f)=
S y (f)=
(1)
S xy (f)=
Такие интегралы по конечным реализациям существуют всегда. Функции S x (f ) и S y (f ) называют функциями спектральной плотности процессов x (t ) и y (t ) соответственно или просто спектральными плотностями, а функцию называют взаимной спектральной плотностью двух процессов x (t ) и y (t ) .
Обратные ПФ от формул (1) дают
R x
(τ
) =
R y
(τ
) =
(2)
R xy
(τ
)
=
df
.
Соотношения (1) и (2) называют формулами Винера-Хинчина, которые в 30-е годы независимо установили связь между корреляционными функциями и спектральной плотностью через ПФ. При решении практических задач приходится допускать в R (t ) и S (f ) наличие дельта-функций.
Из свойств симметрии стационарных ковариационных функций следует
S x (-f) = S x (f) a S xy (-f) = S yx (f)
Следовательно, спектральная плотность S x (f ) – действительная четная функция, a S xy (f ) – комплексная функция от f .
Тогда спектральные соотношения из (1) можно преобразовать к виду
Взаимная спектральная плотность мощности(взаимный спектр мощности) двух реализаций и стационарных эргодических случайных процессов и определяется как прямое преобразование Фурье над их взаимной ковариационной функцией
или, с учетом соотношения между круговой и циклической частотами ,
Обратное преобразование Фурье связывает взаимные ковариационную функцию и спектральную плотность мощности:
Аналогично (1.32), (1.33) вводится спектральная плотность мощности(спектр мощности) случайного процесса
Функция обладает свойством четности:
Для взаимной спектральной плотности справедливо следующее соотношение:
где – функция, комплексно сопряженная к .
Введенные выше формулы для спектральных плотностей определены как для положительных, так и для отрицательных частот и носят название двухсторонних спектральных плотностей . Они удобны при аналитическом изучении систем и сигналов. На практике же пользуются спектральными плотностями, определенными только для неотрицательных частот и называемыми односторонними (рисунок 1.14):
Рисунок 1.14 – Односторонняя и двусторонняя
спектральные плотности
Выведем выражение, связывающее одностороннюю спектральную плотность стационарного СП с его ковариационной функцией:
Учтем свойство четности для ковариационной функции стационарного СП и функции косинус, свойство нечетности для функции синус, а также симметричность пределов интегрирования. В результате второй интеграл в полученном выше выражении обращается в нуль, а в первом интеграле можно сократить вдвое пределы интегрирования, удвоив при этом коэффициент:
Очевидно, что спектральная плотность мощности случайного процесса является действительной функцией.
Аналогично можно получить обратное соотношение:
Из выражения (1.42) при следует, что
Это означает, что общая площадь под графиком односторонней спектральной плотности равна среднему квадрату случайного процесса. Другими словами, односторонняя спектральная плотность интерпретируется как распределение среднего квадрата процесса по частотам.
Площадь под графиком односторонней плотности, заключенная между двумя произвольными значениями частоты и , равна среднему квадрату процесса в этой полосе частот спектра (рисунок 1.15):
Рисунок 1.15 – Свойство спектральной плотности
Взаимная спектральная плотность мощности является комплексной величиной, поэтому ее можно представить в показательной форме записи через модуль и фазовый угол :
где – модуль;
– фазовый угол;
, – действительная и мнимая части функции соответственно.
Модуль взаимной спектральной плотности входит в важное неравенство
Это неравенство позволяет определить функцию когерентности (квадрат когерентности), которая аналогична квадрату нормированной корреляционной функции:
Второй способ введения спектральных плотностей состоит в непосредственном преобразовании Фурье случайных процессов.
Пусть и – два стационарных эргодических случайных процесса, для которых финитные преобразования Фурье -х реализаций длины определяют в виде
Двусторонняя взаимная спектральная плотность этих случайных процессов вводится с использованием произведения через соотношение
где оператор математического ожидания означает операцию усреднения по индексу .
Расчет двусторонней спектральной плотности случайного процесса осуществляют по соотношению
Аналогично вводятся и односторонние спектральные плотности:
Функции , определенные формулами (1.49), (1.50), идентичны соответствующим функциям, определенным соотношениями (1.32), (1.33) как преобразования Фурье над ковариационными функциями. Это утверждение носит называние теоремы Винера-Хинчина.
Контрольные вопросы
1. Приведите классификацию детерминированных процессов.
2. В чем отличие между полигармоническими и почти периодическими процессами?
3. Сформулируйте определение стационарного случайного процесса.
4. Какой способ усреднения характеристик эргодического случайного процесса предпочтителен – усреднение по ансамблю выборочных функций или усреднение по времени наблюдения одной реализации?
5. Сформулируйте определение плотности распределения вероятности случайного процесса.
6. Запишите выражение, связывающее корреляционную и ковариационную функции стационарного случайного процесса.
7. В каком случае два случайных процесса считаются некоррелированными?
8. Укажите способы расчета среднего квадрата стационарного случайного процесса.
9. Каким преобразованием связаны спектральная плотность и ковариационная функции случайного процесса?
10. В каких пределах изменяются значения функции когерентности двух случайных процессов?
Литература
1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – М: Питер, 2002.– 604 с.
2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.
3. Бендат, Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1983. – 312 с.
4. Бендат, Д. Измерение и анализ случайных процессов / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1974. – 464 с.
1) По своему физическому смыслу спектр мощности вещественен и неотрицателен:
Поэтому по спектру мощности принципиально невозможно восстановить какую - либо отдельно взятую реализацию случайного процесса.
2) Поскольку чётная функция аргумента , то соответствующий спектр мощности представляет собой чётную функцию частоты . Отсюда следует, что пару преобразований Фурье (6.14), (6.15) можно записать, используя интегралы в полубесконечных пределах:
(6.17)
(6.18)
3. Целесообразно ввести так называемый односторонний спектр мощности случайного процесса, определив его следующим образом:
(6.19)
Функция позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса путём интегрирования по положительным (физическим частотам):
(6.20)
4. В технических расчётах часто вводят односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц:
(6.21)
При этом, как легко видеть
Весьма важным параметром случайных процессов является интервал корреляции. Случайные процессы, как правило, обладают следующими свойствами: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига . Чем быстрее убывает функция , тем меньше оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.
Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализации случайного процесса, является интервал корреляции определяемый выражением:
(6.22)
Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка .
Ещё одним существенным параметром для случайного процесса является эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией - односторонним спектром мощности, причём - экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна в пределах эффективной полосы частот , выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов:
Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра:
(6.23)
Вне пределов указанной полосы спектральная плотность случайного процесса считается равной 0.
Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчёта дисперсии шумового сигнала: .
Если реализации случайного процесса имеют размерность напряжения (В), то относительный спектр мощности N имеет размерность .
Белый шум и его свойства. Гауссовский случайный процесс.
А) Белый шум.
стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом.
(7.1)
По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:
равна нулю всюду кроме точки . Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика.
Белый шум является дельта-коррелированным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени – как бы мал ни был интервал , сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину.
Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс, безусловно, не существует в природе. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.
Под энергией сигнала иЦ) понимают величину
Если сигнал имеет конечную длительность Т, т.е. не равен нулю на отрезке времени [-Т/ 2, Т/ 2], то его энергия
Запишем выражение для энергии сигнала, используя формулу (2.15):
где
Полученное равенство называется равенством Парсеваля. Оно определяет энергию сигнала через временную функцию или спектральную плотность энергии, которая равна |5(/0))| 2 . Спектральная плотность энергии называется также энергетическим спектром.
Рассмотрим сигнал, существующий на ограниченном интервале времени. К такому сигналу применимо равенство Парсеваля. Следовательно,
Разделим левую и правую части равенства на интервал времени, равный Г, и устремим этот интервал к бесконечности:
С увеличением Т энергия незатухающих сигналов возрастает,
однако отношение может стремиться к определенному пределу. Этот предел называется спектральной плотностью мощности С(со). Размерность спектральной плотности мощности: [В 2 Дц].
Автокорреляционная функция сигнала и (?) определяется следующим интегральным выражением:
где т - аргумент, определяющий функцию Я(х) и имеющий размерность времени; и(? + т) - исходный сигнал, сдвинутый во времени на величину -т.
Автокорреляционная функция имеет следующие свойства.
1. Значение автокорреляционной функции при сдвиге т = О равно энергии сигнала Е:
2. Автокорреляционная функция при сдвигах т Ф
0 меньше энергии сигнала:
3. Автокорреляционная функция является четной функцией, т.е.
В справедливости свойств 2 и 3 убедимся на примере.
Пример 2.6. Вычислить автокорреляционные функции сигналов: видеосигнала, представленного на рис. 2.7, я, и радиосигнала с теми же амплитудой и длительностью. Несущая частота радиосигнала равна щ, а начальная фаза равна 0.
Решение. Первую задачу решим графическим способом. Автокорреляционная функция определяется интегралом от произведения функции и (?) и ее смещенной во времени копии. Смещение видеосигнала найдем из уравнения? + т = 0. График функции м(? + т) приведен на рис. 2.7, б. Площадь, определяемая графиком произведения м(?)м(? + т) (рис. 2.7, в), равна
Функция Д(т) определяется уравнением прямой (рис. 2.7, г). Функция имеет максимум, если значение аргумента т = 0, и равна 0, если т = т и. Для других значений аргумента /?(т)
Чтобы убедиться в справедливости свойства 3, аналогично вычислим функцию для отрицательных значений т:
Рис. 2.7.
видеоимпульса:
а - прямоугольный видеоимпульс; б - задержанный во времени прямоугольный импульс; в - произведение импульсов; г - автокорреляционная функция
Окончательное выражение для автокорреляционной функции
Функция приведена на рис. 2.7, г и имеет треугольный вид.
Вычислим автокорреляционную функцию радиосигнала, расположив его симметрично относительно вертикальной оси. Радиосигнал:
Подставляя значения сигнала и его сдвинутой копии в формулу для автокорреляционной функции /?(т), получим
Выражение для автокорреляционной функции радиоимпульса состоит из двух слагаемых. Первое из них определяется произведением треугольной функции и гармонического сигнала. На выходе согласованного фильтра это слагаемое реализуется в виде ромбовидного радиоимпульса. Второе слагаемое определяется произведением треугольной функции и функций (втд^/лг, расположенных в точках т = +т и. Значения функций (втх)/:*:, которые оказывают заметное влияние на второе слагаемое автокорреляционной функции, весьма быстро убывают при изменении аргумента т от -т и до оо и от т и до -°о. Решив уравнение
можно найти интервалы задержки, в пределах которых значения функций (втлс)/;*; еще влияют на поведение функции /?(т). Для положительных значений задержки
где 7о - период гармонического сигнала.
Аналогично находится интервал для отрицательных значений задержки.
Поскольку влияние второго слагаемого автокорреляционной функции ограничивается весьма малыми (по сравнению с длительностью радиоимпульсов т и) интервалами 7о/2, в пределах которых значения треугольной функции весьма малы, то вторым слагаемым автокорреляционной функции радиоимпульса можно пренебречь.
Выявим связь автокорреляционной функции #(т) со спектральной плотностью энергии сигнала |5(/со)| 2 . Для этого выразим сдвинутый во времени сигнал и(1ь + т) через его спектральную плотность 5(/со):
Подставим данное выражение в выражение (2.21). В результате получим
Нетрудно убедиться также в справедливости равенства
Разделим обе части равенства (2.23) на интервал времени Т и устремим величину Т к бесконечности:
С учетом формулы (2.20) перепишем полученное выражение:
где
- предел отношения автокорреляционной функции ограниченного во времени сигнала к значению этого времени и при стремлении его к бесконечности. Если этот предел существует, то он определяется обратным преобразованием Фурье от спектральной плотности мощности сигнала.
Обобщением понятия «автокорреляционная функция» является взаимно корреляционная функция, которая представляет собой скалярное произведение двух сигналов:
Рассмотрим основные свойства взаимно корреляционной функции.
1. Перестановка сомножителей под знаком интеграла изменяет знак аргумента взаимно корреляционной функции:
В приведенных преобразованиях использована замена t + т = х.
Эта формула может быть выведена аналогично формуле (2.22).
Взаимно корреляционная функция между периодически повторяющимся сигналом и непериодическим
сигналом v(t ) = Uq(?)
где R(t) - автокорреляционная функция непериодического сигнала u 0 (t).
Полученное выражение равно сумме двух интегралов. При сдвиге, равном нулю, первый интеграл равен нулю, а второй равен энергии сигнала. При сдвиге, равном периоду сигнала, первый интеграл равен энергии сигнала, а второй равен нулю. Каждое значение функции при других сдвигах равно сумме значений автокорреляционных функций непериодического сигнала, смещенных относительно друг друга на один период. Кроме того, взаимно корреляционная функция является периодической функцией, удовлетворяющей уравнению
Взаимно корреляционная функция Я ил> (т) между сигналом u(t ) и сигналом
равна - длительность сигнала v(t).
Действительно, вследствие того что период сигнала u(t ) равен Т и
взаимно корреляционная функция где
Вычисляя предел функции (2п + 1)7? м Мо (т) при п -> определим выражение для автокорреляционной функции периодического сигнала:
Размерность функции: [В 2 /Гц].
Значения функции при нулевом сдвиге и других сдвигах, для которых Лц Мо (т) Ф 0, равны бесконечности. По этой причине использование последнего выражения в качестве характеристики периодического сигнала теряет смысл.
Разделим последнее выражение на интервал, равный (2п + 1 )Т. В результате получим функцию
так как вследствие периодичности функции - т + Т) = - т).
Полученная формула определяет функцию В(т) как предел отношения автокорреляционной функции сигнала, существующего в интервале времени (2п + 1 )Т, к этому интервалу и стремлении его к бесконечности. Этот предел для периодически повторяющегося сигнала называется автокорреляционной функцией периодического сигнала. Размерность этой функции: [В 2 ].
Прямое преобразование Фурье одного периода автокорреляционной функции периодического сигнала определяет спектральную плотность мощности, которая является непрерывной функцией частоты. По этой плотности, используя формулу (2.17), можно найти спектральную плотность мощности периодической автокорреляционной функции сигнала , которая определяется для дискретных значений частот:
где 0)1 = 2п/Т.
Если автокорреляционная функция записана в виде ряда Фурье в тригонометрической форме, то выражение для ее спектральной плотности
Пример 2.7. Вычислить периодическую автокорреляционную функцию сигнала и(ф) = А бш СИ. По найденной функции, ограниченной одним периодом, определить спектральную плотность мощности.
Решение. Подставляя в выражение (2.26) заданный сигнал, получим выражение для периодической автокорреляционной функции:
Полученное выражение подставим в формулу (2.24) и найдем спектральную плотность мощности:
Пример 2.8. Для периодической нормированной автокорреляционной функции шумоподобного сигнала (М-последовательности с периодом N = 1023) вычислить спектральную плотность мощности. (Периодическая функция для последовательности меньшей длины (IV= 15) приведена на рис. 3.39.)
Решение. Для сравнительно большого периода ЛГ = 1023 значения автокорреляционной функции в интервале Т - То > т > То, где То - длительность импульса шумоподобной последовательности, примем равными нулю. В этом случае автокорреляционная функция определяется периодически повторяющейся с периодом Т последовательностью треугольных импульсов. Основание каждого треугольника равно 2то, а его высота равна 1. Уравнение, определяющее автокорреляционную функцию в пределах одного периода, равно В(т) = 1 - |т|/хо- Учитывая четность этой функции, определим коэффициенты ряда Фурье:
При вычислении интеграла использована формула
Подставляя вычисленные коэффициенты в формулу (2.27), ползшим
Спектральная плотность мощности периодической автокорреляционной функции равна взвешенной сумме бесконечно большого числа дельтафункций. Весовые множители определяются квадратом функции (этх)/:»:, умноженной на постоянный коэффициент 2я(то/Т).
Корреляционные функции цифровых сигналов связаны с корреляционными функциями последовательностей символов. Для кодовой последовательности (см. § 1.3) конечного числа N
двоичных символов автокорреляционная функция записывается в виде
где - двоичные символы, равные 0 или 1, или символы, равные -1, 1; д = О, 1, 2, ..., N - .
Последовательности символов могут быть как детерминированными, так и случайными. При передаче информации характерным свойством последовательности символов является их случайность. Значения автокорреляционной функции (при сдвигах, нс равных нулю), вычисленные по заранее записанной случайной последовательности конечной длины, также являются случайными.
Автокорреляционные функции детерминированных последовательностей, которые используются для синхронизации, а также в качестве носителей дискретных сообщений, являются детерминированными функциями.
Сигналы, построенные с использованием кодов или их кодовых последовательностей, называются кодированными сигналами.
Большинство свойств автокорреляционной функции кодовой последовательности совпадает с рассмотренными выше свойствами автокорреляционной функции сигнала.
При пулевом сдвиге автокорреляционная функция кодовой последовательности достигает максимума, который равен
Если символы равны -1, 1, то г(0) = N.
Значения автокорреляционной функции при других сдвигах меньше г(0).
Автокорреляционная функция кодовой последовательности является четной функцией.
Обобщением автокорреляционной функции является взаимно корреляционная функция. Для кодовых последовательностей одинаковой длины эта функция
где 2 } 0 6/, - символы соответственно первой и второй последовательности.
Многие свойства функции г 12 (д) совпадают со свойствами взаимно корреляционной функции рассмотренных выше сигналов. Если функция г^(д), I Ф для любой пары кода при сдвиге д = О равна нулю, то такие коды называются ортогональными. Краткое описание некоторых используемых в системах связи кодов приведено в приложениях 2-4.
Взаимно корреляционная функция между кодовой последовательностью и периодически повторяющейся той же последовательностью называется периодической автокорреляционной функцией кодовой последовательности. Выражение для функции следует из выражений (2.25), (2.26):
где г(д) - непериодическая автокорреляционная функция кодовой последовательности; д - значение сдвига между последовательностями.
Подставим в полученную формулу выражения автокорреляционных функций:
где а/г, а^+ц - элементы кодовой последовательности.
Периодическая автокорреляционная функция кодовой последовательности равна взаимно корреляционной функции, вычисленной для кодовой последовательности и циклически сдвинутых символов этой последовательности. Циклически сдвинутые кодовые последовательности, полученные по исходной последовательности а 0 = а 0 ,а { ,а 2 ,
..., а м _ ь
приведены ниже. Кодовая последовательность а {
получена в результате сдвига исходной последовательности а 0
па один символ вправо и переноса последнего символа а
дм в начало сдвинутой последовательности. Остальные последовательности получены аналогично:
Пример 2.9. Вычислить автокорреляционную и периодическую автокорреляционную функцию кодированного сигнала (рис. 2.8, а)
где и 0 (О - прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью т и.
Этот сигнал построен из прямоугольных импульсов, знак которых определяется весовыми коэффициентами: а 0 = ,а. = 1, а 2 = -1, а их число N = 3. Длительность сигнала равна Зт и.
Решение. Подставляя выражение для сигнала в формулу (2.21), получим
Произведем замену переменной t - кт н на х:
Обозначим: & - т = - и заменим дискретные переменные &, т на переменные к, ц. В результате получим
График автокорреляционной функции для заданного сигнала показан на рис. 2.8, б. Эта функция зависит от автокорреляционной функции /? 0 (т) прямоугольного импульса и значений автокорреляционной функции г(
Рис. 2.8. Автокорреляционная функция кодированного сигнала: а - кодированный сигнал; 6 - автокорреляционная функция сигнала; в - автокорреляционная функция периодического сигнала
Вычислим периодическую автокорреляционную функцию, используя рассчитанную выше автокорреляционную функцию, полученные значения автокорреляционной функции кодовой последовательности и формулу (2.28).
Периодическая автокорреляционная функция
Подставим заданное значение N = 3 в полученную формулу:
С учетом значений автокорреляционной функции кодовой последовательности К+З) = 0, г(+ 2) = -1, г(+1) = О, КО) = 3 запишем окончательное выражение для одного периода периодической автокорреляционной функции сигнала:
График функции приведен на рис. 2.8, в.
